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关于《密铺》的一些思考 --
胡森发表于 2019/6/17 11:27:06    出处:

关于《密铺》的一些思考

一、对《密铺》内容的认识

《密铺》是北师大数学第八册一节实践活动内容,根据有关平面图形特点进行观察、操作、思考和简单设计的实践活动。本节课是建立在学生对平面图形的认识基础上,进一步体验常见的平面图形的形状、结构特点,加强对图形的认识,初步认识密铺,感受密铺的特征。

所谓密铺,即平面图形的镶嵌,用形状、大小完全相同的一种、几种或几十种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,这就是平面图形的密铺,又称做平面图形的镶嵌。在常见的平面图形中,正方形、长方形、三角形、平行四边形、梯形、正六边形能够单独密铺,而正五边形、圆形不能单独密铺。满足密铺的条件就是在每个拼接点处的内角和刚好是360°。

二、对《密铺》教学的设想

新课标提倡学生的数学学习内容应当是“现实的、有意义的、富有挑战性的”。《密铺》是一节数学活动课,这一内容来源于生活,建立在学生丰富的实际生活的经验之上,且学生具备图案设计和多边形的相关知识。

本课内容对于培养学生的观察、实验、猜测、验证、推理与交流能力提供了很好的素材,学生通过动手实践、合作交流与探索等数学活动,发展合情推理、归纳总结的能力,同时积累数学活动经验,培养学生学数学,用数学的意识。

1.创设情境,引入新课

上课之前欣赏密铺图片。看了这些图片的感觉怎么样?生活中你在那儿还见过类似的图案呢?

2.自主探索,发现规律  

采用分类研究的策略,通过猜一猜,摆一摆,想一想等环节探索常见平面图形能否密铺,尝试找一找密铺和图形的什么条件有关?

3.讨论辨析,巩固理解 

通过创设学生感兴趣与生活密切相关的情境,引导学生观察、比较和交流,判断是否是密铺,为什么?初步理解密铺的含义,激发学生的学习兴趣,沟通知识间的联系。

4.拓展了解,评价总结

其实密铺不仅与我们的生活息息相关,还有着悠久的历史,更是留下了有趣的作品。了解密铺的历史背景。

5.学以致用,创造设计

给自己的房间地面设计一个密铺的图案,下节课我们一起展示。   

三、对正多边形是否密铺的理论准备

图形镶嵌涉及到多边形内角和、图形全等等知识,应用这些知识,可以通过分析和计算,解释和解决各种图形的镶嵌问题,例如:

1.正多边形独立密铺

1)正三角形

结合已经学过的数学知识,显而易见,正三角形是可以密铺的,因为正三角形的每一个内角均为 60°,在每个拼接点处可以容纳 6 个内角,而且互相不重叠,没有空隙。见图1。

2)正四边形

正四边形也可以密铺,因为正四边形的每一个内角均为 90° ,在每个拼接点处可以容纳 4 个内角,而且互相不重叠,没有空隙。见图 2 。

 

 3)正五边形

正五边形的每个内角是 108°,360 不是 108 的整数倍,在每个拼接点处,三个内角之和为 324°,小于 360°,四个内角之和为 432°,大于 360°。也就是说,在每个拼接点处,拼三个内角不能保证没空隙,而拼四个内角,必定有重叠现象。所以,正五边形不能密铺。见图 3 。

4)正六边形

正六边形的每个内角为 120° ,在每个拼接点处,恰好能容下 3 个内角,而且互相不重叠,没有空隙。所以,正六边形也能够密铺。见图 4 。

5)正n边形

 边数 n 大于等于 7 的正多边形,其每个内角为( n - 2 )× 180° ÷ n , 在每个拼接点处,三个内角之和均大于 360° ,必定有重叠现象。所以,边数大于等于 7 的正多边形均不能密铺。

由此得出一个规律,若正n边形一个内角的度数能够整除 360°,那么这个正n边形就可以实现密铺;否则,不可以。

2.正多边形组合密铺

用几种不用的正 n 边形能不能够进行密铺呢?比如正六边形、正方形与正三角形,它们能不能相互拼接实现密铺呢?

正六边形一个内角是120°,正方形一个内角为90°,正三角形一个内角为60°,三个加起来为270°,再加一个正方形,正好是 360°,所以,一个正六边形、一个正三角形、两个正方形可以围绕一点实现密铺。当然,要实现重复密铺,还要保证它们的边长相等或成一定比例。如图5。

同理,两个正方形和三个三角形可以围绕一点实现密铺,见图6;两个正六边形和一个三角形也可以围绕一点实现密铺,见图7。

 

 3.一般多边形的密铺

1)一般四边形的密铺

由于任意一个四边形的四个内角均和为 360° ,所以总是能够使四个完全相等的四边形各自贡献一个内角组合成360°。在拼接时,只要使拼在一起的四个角分别来自四个完全相等的四边形的不同顶角,而且相等的边两两重合,就可以实现互相不重叠、没有空隙的密铺。如图 8 。

2)一般三角形的密铺

两个任意三角形以相等的边重合拼接,就可以组成一个四边形。上面已经论述,任意四边形都是可以实现密铺的,所以一般三角形也可以实现密铺。

四、密铺的延伸

生活中密铺还有一个最为常见和特殊的情况,由12个正五边形和20个正六边形可以密铺成个球体,这就是最常见的足球。课后继续研究。

、密铺的历史

1619年--数学家奇柏,第一个利用正多边形铺嵌平面。  

1891年--苏联物理学家费德洛夫发现了十七种不同的铺嵌平面的对称图案。

1924年--数学家波利亚和尼格利重新发现这个事实。

最富趣味的是荷兰艺术家埃舍尔,他到西班牙旅行参观时,对一种名为阿罕拉的建筑物有很深的印象,这是一种十三世纪皇宫建筑物,其墙身、地板和天花板由摩尔人建造,而且铺了种类繁多、美仑美奂的马赛克图案。埃舍尔用数日的时间复制了这些图案,并得到了启发,创造了各种并不局限于几何图案的密铺图案,这些图案包括人、青蛙、鱼、鸟、蜥蜴,甚至是他凭空想象的物体。他创作的艺术作品,结合数学与艺术,给人留下深刻的印象,更让人对数学产生了另一种看法。

空间观念是小学数学中重要的一个方面,教学中主要运用观察、操作、创造与设计等各种手段,在借助图形直观进行操作与合情推理的过程中,学生能增强探究的好奇心,加深对数学的理解,激发出潜在的创造力,逐步形成创新意识。

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