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运用画图策略,提高学生解决问题的能力 --
胡森发表于 2019/11/7 18:23:25    出处:

运用画图策略,提高学生解决问题的能力

高新二小      

在解决问题的教学中,要重视引导学生运用画图的方法分析数量关系,解决问题,体会画图的作用和价值; 鼓励学生用多种画图形式来解决问题,体验画图策略的多样性;引导学生领会画图策略中的数学思想,提升数学素养。 下面就以本人的教学实践谈谈“画图”策略在提高学生的解题能力、发展数学素养方面的一些作用。

1.创设体验情境,体验画图策略的价值性

小学生的数学学习,正处在以形象思维为主,向抽象思维过渡的阶段。许多数学问题多以文字形式呈现,纯文字的问题语言表述上比较言简,枯燥乏味,至使他们常常读不懂题意。根据其年龄特点,让学生自己在纸上涂一涂、画一画,借助线段图或实物图把抽象的数学问题具体化,还原问题的本来面目,使孩子读懂题意、理解题意,拓展学生解决问题的思路,帮助他们找到解决问题的关键,从而提高学生解决问题的能力。因此,在教学中教师要善于创设体验情境,让学生在思考的过程中产生画图的需要,在自己画图的活动中体会方法、感悟策略、发展思维、获得思想。例如一个长6分米,宽4分米,高5分米的长方体盒子,最多能放( )个棱长是2分米的正方体的木块。大多数学生都会用V长÷V正进行计算。但如果画图表示就可以发现“边角料”的存在,显然这种方法不合理。学生有了直观体验,教学起来就容易多了。

2.交流画图的方法,感受画图策略的多样性

画图策略就是把问题呈现的信息通过图画的方式表示出来,通过直观形象的符号信息展示寻找问题答案的一种基本的解决问题的策略。画图的形式是多样的,除了大家熟悉的线段图、平面图、立体图、集合图、统计图,还包括学生运用自己的方式给出的图形表征,如实物图、示意图等。在教学中可引导学生根据自己的需要画出不同的图来帮助自己分析、理解数量关系,解决实际问题。同时,鼓励学生大胆的提出自己的不同见解, 相互交流,分享各自的策略,使学生切身体验到数学的价值和趣味,激发学生好好学习数学和应用数学的兴趣和愿望。如五年级一块长12分米的长方体钢材截成3段后,表面积增加了24平方分米,原来这块钢材的体积是多少立方分米?学生最多的误区一是认为截3段就增加了6个横截面,二是认为长方体的宽和高求不出来,就无法求出它的体积。但如果画图分析,  学生很容易发现方钢截3段就只要切2刀只增加了4个横截面,其中横截面的面积就是宽与高的乘积,所以并不一定要知道宽与高具体是多少能求出方钢的体积。

3.提供探索的空间,提高运用画图策略的能力

任何一种解决问题策略需要经历解决问题过程,只有学生思维的深度参与,才可以使策略的形成过程成为策略在学生头脑中的过程,学生获得体验才是深刻的。因此,在教学时教师要让学生动手实践、自主探索,为学生的探索活动提供足够的时间和空间,发挥各自的创造潜能,灵活有效的解决实际问题。教育大师苏霍姆林斯基说过“孩子的智慧在手指上”。学生能把一些纷繁复杂的数学难题,“翻译”成图表的符号,化繁为简,使问题变得井然有序。如果在教学过程中巧用“画图”,能将教学内容化静为动,培养学生的抽象思维能力,引导学生在真实鲜明的感性认识中发展智力,他们的抽象思维能力会得到有效地培养。

4.有效巩固练习,强化画图解题策略能力

教学要真正做到培养学生运用画图策略解决问题的能力,不是在加深问题的难度上下工夫,而是要通过有代表性的又为学生容易接受的练习,从有文图结合的练习,到看图练习,再到需要学生自己借助画图解决的文字叙述的练习,使学生能够产生迁移,循序渐进,从而达到培养学生的读图能力,进而提高学生画图解题意识和能力的教学目标。学生画图解决问题需要学生具有良好的思维分析能力和动手实践能力,教师要提供富有代表性的学生容易理解的问题来探讨画图策略,并分析出画图解决问题的直观性和简便性。学生能够通过这一个问题延伸到同一类型的或者是其他的一些从未遇到过问题都采用这样的画图策略来帮助解决,使学生能够灵活运用画图策略来帮助解决问题,举一反三,从而提高学生运用画图策略解决问题的效果。

“画图”策略贯穿于整个小学数学解决问题的教学中。教师在教学的过程中要善于利用,多加引导,适时渗透,使学生掌握“画图策略”的数学技能,逐渐具有应用有效策略的自觉性,形成良好的思维习惯,增进学生的思考力、理解力以及创造力,提高灵活运用策略解决实际问题的能力。

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《圆的认识(一)》课后反思 --
胡森发表于 2019/10/19 10:25:45    出处:

《圆的认识(一)》课后反思

西安高新二小     

《圆的认识》是在学生认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等平面图形和初步认识圆的基础上进行学习的。教材注重从学生的生活经验和知识背景出发,结合具体情境和操作活动激活已经存在于学生头脑中的经验,促使学生逐步归纳、内化,上升到数学层面来认识圆。

一、教学设计的角度反思:

1.重视学生的体验和知识建构

设计时充分让学生感受跳起来摘苹果的乐趣。从一开始的玩游戏,到寻宝大作战,再到感悟古人的对圆的定义,每个环节都是在发现、体会、感受圆的本质特征。这几个环节循序渐进由观察到操作,由操作到辨析,这就是由感性感知到理性分析的跨越,就给了学生充分的思考探索空间,学生探究的结果也很重要,但是学生的情感体验和经历知识形成过程更重要。 体验是成功的基石,整节课的设计让学生在大情境下自己建构知识,通过学生的自主探索、想象验证、合作交流等活动,引领学生成为发现者、研究者,在对话交流中使知识、能力、方法、情感等以自然建构与生成。

2.依据内容和学情,重整教材。

作为一节图形概念课,关键是掌握特征,“特征”是什么?指“一事物区别于他事物的特别显著的标志。”本课重在发现特征、体会特征。在备课过程中,没有刻意安排哪个环节重点研究学习“半径”或给出半径的定义,当纵观整节课,一直围绕圆心和半径展开,学生在循序渐进的过程中自然生长。同时对画圆较为淡化的处理,可以作为下节课的重点,使得整节课重点更为突出,效果更好。

3.重视了数学文化的渗透。

本课作为第一课时,“浓墨重彩”去渲染圆的本质特征,也为后续教学铺平了道路,相信后面的学习将是“一帆风顺”。设计也渗透了更多的人文情怀,“一中同长”的古人智慧,在课堂上占据很大板块;课后小故事,从《规矩与方圆》说起,既有圆的知识普及,也有做事要规矩严谨的教育;最后的总结从圆的发展历史说到自然界的圆又到文化方面的圆,相信圆会在孩子心里留下深刻的印象。

4.重视数学思维的培养。思维往往是从动手开始的,在教学中,引导学生用多种感官参与到知识的生成过程中,课前游戏重在观察,简单的几个问题直指核心特征,已经激起思维的涟漪。开始部分的寻宝活动重在动手,但也沟通了新旧知识间的联系,在孩子们的思想深处,已经勾勒了圆的雏形。课中讨论部分“宝物可能在哪里呢?你怎么跟你的同伴去描述宝物的位置。”重在动口,确实在解决数学知识抽象性与学生思维形象性之间的矛盾。所有的活动和设计紧密围绕思维的生长这一目标展开,收到了较好的教学效果。

二、学生学习的角度反思  

1.整节课充分发挥了学生的主动性,学生勤思、勤动手中积极探究,课堂参与度较广,对圆的理解和认识,在不知不觉中理解并升华。正如同学在总结时说道,“我不仅知道了圆的半径,还知道了圆在生活中有这么多的应用。”

2.小组合作效果明显,对本节课起到了很好的推动作用。开始结合寻宝活动创造“圆”的环节和后面画圆的过程,都是合作完成,孩子们分工明确,相互配合,在合作中锻炼,在合作中提升。

三、从课堂实施和效果角度反思

1.教师应变能力、课堂语言有待提高。

在课堂中仍会出现意料之外的问题,一方面课前预设要更充分和全面,二是要不断提高教师课堂智慧和应变能力。课堂语言有待提高,评价语言要丰富、有激励性,小结语要准确、高度概括。

2.课堂进展把控要更自如。

一节课内容很多,课堂把控要流畅、自如、时间分配要合理,本节课后面在尝试画圆时还显得时间较短,致使课堂教学受到了一些影响。

反思是为了更好地成长,今后我们在数学课堂上要继续兼顾知识与技能的培养,注重探究与体验的过程,演绎数学历史与文化的精彩。

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《圆的认识一》设计理念 --
胡森发表于 2019/10/17 19:12:10    出处:

               《圆的认识一》设计理念

    1.作为一节图形概念课,关键是掌握特征,“特征”是什么?指“一事物区别于他事物的特别显著的标志。”本课重在发现特征、体会特征。从一开始的玩游戏,到寻宝大作战,再到感悟古人的对圆的定义,每个环节都是在发现、体会、感受圆的本质特征。这几个环节循序渐进有观察到操作,由操作到辨析,这就是由感性感知到理性分析的跨越。

    2.本课淡化了圆的画法的教学,没有涉及直径的教学,这也是根据学情和教学侧重点(感悟特征)做出的调整,本课作为第一课时,浓墨重彩去渲染圆的本质特征,也为后续教学铺平了道路,相信后面的学习将是“一帆风顺”。

    3.本课设计也渗透了更多的人文情怀,“一中同长”的古人智慧,在课堂上占据很大板块;课后小故事,从《规矩与方圆》说起,既有圆的知识普及,也有做事要规矩严谨的教育;最后的总结从圆的发展历史说到自然界的圆又到文化方面的圆,相信圆会在孩子心里留下深刻的印象。

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如何培养和发展学生的空间观念 --
胡森发表于 2019/6/17 11:30:06    出处:

如何培养和发展学生的空间观念

近期,我们正在学习长方体(正方体)的相关知识,这也是学生第一次开始系统地研究立体图形。是学生空间观念发展的一次飞跃,从直观感受到认识图形的特点也是学习上的一次深化。《教师用书》介绍了以下两点编写特点和教学建议:一是重视观察与具体操作,经历探索长方体和正方体的结构特征和本质特征的思维过程,发展空间观念。二是解决与长方体相关的实际问题,借助几何直观,发展空间想象和空间推理能力,积累解决问题的经验。

第一课《长方体的认识》分为两课时,第一课时常规教法,借助大量的实物和模型,通过看一看、摸一摸、数一数等操作体验活动整理长方体和正方体共有的特征以及各自独有的特征。一切都进行得比较顺利,课程目标的达成度也比较理想。

第二课时“试一试”,是对前一课时的补充和延续,内容如图以及相应的习题。具体要求学生从给出的8个不同尺寸的长方形和正方形中,选出能组成一个长方体的6个面。这是促进学生理解长方体本质的重要数学活动,更是培养和发展学生空间观念的有效素材。如何能利用好这些素材?如何能整合素材,发挥最大的效能?如何才能带领学生“经历探索长方体和正方体的结构特征和本质特征的思维过程”?这是我课前一直思考的问题。

带着我的思考做了一些尝试,把我的实践摘录几个片段与大家一起分享。

一、课前回顾环节。

说一说昨天我们学习的长方体和正方体,他们有哪些共有的特征?它们各自还有哪些特有的特征?他们之间又有怎样的关系?谁能再来具体说一说长方体的棱有什么特点?

二、学习新课环节。

1.用棱搭长方体。

根据刚才的回答,你能快速完成下面的问题吗?学生的回答很圆满,但为了理清长方体的“本质特征”,我并没有结束本题的意思,继续追问:“为什么,选择468的小棒,而不选择57的小棒?”又是一轮“重复”的回答,对此,我却乐此不疲。因为“长方体通常有3组不同长短的棱,每组都有4条。”这就是他的本质特点之一,本课从这里入手就已经为后面做好了铺垫。

2.用面围长方体。

至此才真正进入新课,“同学们已经指导如何用一些小棒搭长方体框架了,如果用一些面,你还会围成一个长方体吗?”又一个悬念留给了孩子们。

1)可以借助你们手中的卡片合作摆一摆、搭一搭,看你们有什么发现?

1:我们用到了145678号六个面。

2:我们排除了23号面。

3:因为长方体相对的面形状相同面积相等,只有23号面是单独的,所以要排除。

4:所以我们在找的时候,可以一组一组地找,比较方便。

一次简单的操作,成就了这么多深刻的想法,而且层层递进。学生已经掌握了最基本的方法。当我再次询问还有没有其他想法的时候,课堂沉寂了,学生的思维正处于强烈的挣扎之中......

2)见状,我慢条斯理地提出:“如果再增加两个相同的面,比如长52,你还是这样选吗?”课堂开始骚动了......

1:还是原来的6个面,这两个面放进去太大了。

“太大了?”“哪大了?”我迫不及待的追问。

1:长5厘米太大了......他的话还没有说完,一群小手就举起来了。

2:没有哪个边能和5厘米重合在一起,所以5厘米不能用。

3:一组一组地选,只是第一步,接下来还要看边的数据是否合适,这样才能确定下来。

4:其实1号和8号面有4厘米和2厘米,他们两个是相对的面,他旁边的面一定要有4厘米或2厘米的,这样才能围起来。

“能不能把你说的再重复一遍!”我略带神秘地说。此时学生反而有些胆怯了,但还是再重复了一遍。我接着问道:“他的回答中提到一个关键词,也是一个很好的策略,你听出来了吗?”此时回答的同学才露出会意的笑容。

5:“他先确定一个面,再想它旁边的面。”

一番讨论之后,这个问题总算搞清了。但学生的思维还有提升的空间,不能错过这股热情劲。紧接着我话锋一转,一波更激烈的讨论开始了......

3)“要围一个长方体,至少要确定几个面,就知道它的长宽高?”

1:不假思索地说:“最少3个面,对面只要和他一样就可以了。”回答后一片寂静,没有人附和,也没有人赞同。我也没有表态,故意面无表情地再提问一位同学。

2:“我觉得应该会比3个面少吧,但我还不确定。”

此时,明显有部分学生已经开始跃跃欲试,有的在用手或书在比划,有的在稿纸上画着什么,有的在挠首捶胸......

几分钟过后,同样的问题我再重复了一遍,“要围一个长方体,至少要确定几个面,就知道它的长宽高?”

3:应该是两个面就够了......还没等说完另一位就抢着插话。

4:必须是两个相邻的面才可以,这样相同的边重合作为一条棱,另外不重合的两条边就是围成长方体的另外两条棱。说着还拿起书进行了演示......

整节课已接近尾声,孩子们的热情依然高涨,课后和几位老师聊起来,更是深受启发,对于如何培养和发展学生的空间观念,如何积累学生的活动经验,似乎又有了一些见解和心得。

1.活动经验在想象中积累。想象是什么?想象就是在大脑中建构。合理的想象有助于孩子形成空间的整体形象,帮助他们在思维中储存更多的图形信息,通过想象在大脑中勾勒出基本图形。正如南京师范大学李星云教授在《小学数学专题研究》一书中指出:“学生的空间观念和空间想象力是学生的一种重要能力……”,史宁中教授也提出空间观念的终极目标就是空间想象力。本课中,学生用手比划、用书实验、让一条棱重合等活动和想法,就是想象的过程,更是想象的结果。

2.活动经验在辨析中积累。辨析是思考和分析,是修正的过程。讨论中大家针对“5厘米,是否可以?”“到底至少需要知道几个面?”展开辨析,就是在大脑中建构的过程。这是学生概括抽象的过程,也是突破难点,强化重点的过程,这样的辨析将难点分解,让学生在有梯度的活动中积累活动经验,发展空间观念。

3.活动经验在操作中积累。操作是课堂生成的基础,本节课就借助了一个有效的载体——拼搭。正所谓“儿童的智慧在指尖”,学生在动手操作中,能够获得直接经验和亲身感受,促进思维的发展。史宁中教授也曾说:“世界上有很多东西是不可传递的,只能靠亲身经历。”“拼搭”的过程,就是"经历”,后面讨论中提到的“留下谁,排除谁”都是通过操作得到的。孩子的空间想象力、空间观念的发展,就是在这些操作中提升的。最终让学生经历活动,体验过程,积累经验,形成技能。这也是《课程标准》所倡导的。

4.活动经验在思维中积累。这里所说的思维,既指思维活动,也指活动中所获得的过程性体验,思维介入越积极,所获得的体验也就越深刻。前面提到的想象、辨析、操作都是为思维做铺垫,同样,思维的发展又能促进想象、辨析与操作。可以说思维是数学活动的最高级别,一切活动形式都是为思维服务的。本课探索中,从“为什么选择4根相同小棒?”开始,到“为什么要一组一组选择两个相同的面?”,再到“最少确定几个面就能确定这个长方体?”孩子们的思维是在一步步提高和发展的。

学生空间观念的形成和发展是建立在观察、感知、操作、想象、思考等基础之上的。观察和操作是为丰富学生的表象,发展学生的形象思维;想像和思考对表象进行加工,从形象思维向抽象思维转变。我们要充分利用各种条件、方法,从核心素养出发,落实学生的空间观念,发展学生的思维,促进学生的全面发展。

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关于《密铺》的一些思考 --
胡森发表于 2019/6/17 11:27:06    出处:

关于《密铺》的一些思考

一、对《密铺》内容的认识

《密铺》是北师大数学第八册一节实践活动内容,根据有关平面图形特点进行观察、操作、思考和简单设计的实践活动。本节课是建立在学生对平面图形的认识基础上,进一步体验常见的平面图形的形状、结构特点,加强对图形的认识,初步认识密铺,感受密铺的特征。

所谓密铺,即平面图形的镶嵌,用形状、大小完全相同的一种、几种或几十种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,这就是平面图形的密铺,又称做平面图形的镶嵌。在常见的平面图形中,正方形、长方形、三角形、平行四边形、梯形、正六边形能够单独密铺,而正五边形、圆形不能单独密铺。满足密铺的条件就是在每个拼接点处的内角和刚好是360°。

二、对《密铺》教学的设想

新课标提倡学生的数学学习内容应当是“现实的、有意义的、富有挑战性的”。《密铺》是一节数学活动课,这一内容来源于生活,建立在学生丰富的实际生活的经验之上,且学生具备图案设计和多边形的相关知识。

本课内容对于培养学生的观察、实验、猜测、验证、推理与交流能力提供了很好的素材,学生通过动手实践、合作交流与探索等数学活动,发展合情推理、归纳总结的能力,同时积累数学活动经验,培养学生学数学,用数学的意识。

1.创设情境,引入新课

上课之前欣赏密铺图片。看了这些图片的感觉怎么样?生活中你在那儿还见过类似的图案呢?

2.自主探索,发现规律  

采用分类研究的策略,通过猜一猜,摆一摆,想一想等环节探索常见平面图形能否密铺,尝试找一找密铺和图形的什么条件有关?

3.讨论辨析,巩固理解 

通过创设学生感兴趣与生活密切相关的情境,引导学生观察、比较和交流,判断是否是密铺,为什么?初步理解密铺的含义,激发学生的学习兴趣,沟通知识间的联系。

4.拓展了解,评价总结

其实密铺不仅与我们的生活息息相关,还有着悠久的历史,更是留下了有趣的作品。了解密铺的历史背景。

5.学以致用,创造设计

给自己的房间地面设计一个密铺的图案,下节课我们一起展示。   

三、对正多边形是否密铺的理论准备

图形镶嵌涉及到多边形内角和、图形全等等知识,应用这些知识,可以通过分析和计算,解释和解决各种图形的镶嵌问题,例如:

1.正多边形独立密铺

1)正三角形

结合已经学过的数学知识,显而易见,正三角形是可以密铺的,因为正三角形的每一个内角均为 60°,在每个拼接点处可以容纳 6 个内角,而且互相不重叠,没有空隙。见图1。

2)正四边形

正四边形也可以密铺,因为正四边形的每一个内角均为 90° ,在每个拼接点处可以容纳 4 个内角,而且互相不重叠,没有空隙。见图 2 。

 

 3)正五边形

正五边形的每个内角是 108°,360 不是 108 的整数倍,在每个拼接点处,三个内角之和为 324°,小于 360°,四个内角之和为 432°,大于 360°。也就是说,在每个拼接点处,拼三个内角不能保证没空隙,而拼四个内角,必定有重叠现象。所以,正五边形不能密铺。见图 3 。

4)正六边形

正六边形的每个内角为 120° ,在每个拼接点处,恰好能容下 3 个内角,而且互相不重叠,没有空隙。所以,正六边形也能够密铺。见图 4 。

5)正n边形

 边数 n 大于等于 7 的正多边形,其每个内角为( n - 2 )× 180° ÷ n , 在每个拼接点处,三个内角之和均大于 360° ,必定有重叠现象。所以,边数大于等于 7 的正多边形均不能密铺。

由此得出一个规律,若正n边形一个内角的度数能够整除 360°,那么这个正n边形就可以实现密铺;否则,不可以。

2.正多边形组合密铺

用几种不用的正 n 边形能不能够进行密铺呢?比如正六边形、正方形与正三角形,它们能不能相互拼接实现密铺呢?

正六边形一个内角是120°,正方形一个内角为90°,正三角形一个内角为60°,三个加起来为270°,再加一个正方形,正好是 360°,所以,一个正六边形、一个正三角形、两个正方形可以围绕一点实现密铺。当然,要实现重复密铺,还要保证它们的边长相等或成一定比例。如图5。

同理,两个正方形和三个三角形可以围绕一点实现密铺,见图6;两个正六边形和一个三角形也可以围绕一点实现密铺,见图7。

 

 3.一般多边形的密铺

1)一般四边形的密铺

由于任意一个四边形的四个内角均和为 360° ,所以总是能够使四个完全相等的四边形各自贡献一个内角组合成360°。在拼接时,只要使拼在一起的四个角分别来自四个完全相等的四边形的不同顶角,而且相等的边两两重合,就可以实现互相不重叠、没有空隙的密铺。如图 8 。

2)一般三角形的密铺

两个任意三角形以相等的边重合拼接,就可以组成一个四边形。上面已经论述,任意四边形都是可以实现密铺的,所以一般三角形也可以实现密铺。

四、密铺的延伸

生活中密铺还有一个最为常见和特殊的情况,由12个正五边形和20个正六边形可以密铺成个球体,这就是最常见的足球。课后继续研究。

、密铺的历史

1619年--数学家奇柏,第一个利用正多边形铺嵌平面。  

1891年--苏联物理学家费德洛夫发现了十七种不同的铺嵌平面的对称图案。

1924年--数学家波利亚和尼格利重新发现这个事实。

最富趣味的是荷兰艺术家埃舍尔,他到西班牙旅行参观时,对一种名为阿罕拉的建筑物有很深的印象,这是一种十三世纪皇宫建筑物,其墙身、地板和天花板由摩尔人建造,而且铺了种类繁多、美仑美奂的马赛克图案。埃舍尔用数日的时间复制了这些图案,并得到了启发,创造了各种并不局限于几何图案的密铺图案,这些图案包括人、青蛙、鱼、鸟、蜥蜴,甚至是他凭空想象的物体。他创作的艺术作品,结合数学与艺术,给人留下深刻的印象,更让人对数学产生了另一种看法。

空间观念是小学数学中重要的一个方面,教学中主要运用观察、操作、创造与设计等各种手段,在借助图形直观进行操作与合情推理的过程中,学生能增强探究的好奇心,加深对数学的理解,激发出潜在的创造力,逐步形成创新意识。

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